Die "Grundlagen" als Programm

Hilberts Grundlagen der Geometrie

Hilberts Programm

Hilberts "Grundlagen" als Programm

Die Ideen des Buches wurden für Hilbert zu einem Programm.

Ähnlich wie die "Elemente" wirkten auch die "Grundlagen" auf andere Gebiete ein.
Hilbert selbst gab axiomatische Darstellungen für die

Grundlagen der Arithmetik (1900),
Grundlagen der Physik (1915).
Grundlagen der Mathematik (1934).

Von A. N. Kolmogoroff (1903-1987) wurde nach dem Vorbild der "Grundlagen" eine Axiomatik der

Wahrscheinlichkeitsrechnung (1933)

entwickelt.

Geometrie und Wirklichkeit

Hilbert äußerte sich in einer Rundfunksendung am 28. September 1930 auf dem
Kongreß der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte in Königsberg zum
Thema:

Natur Erkennen und Logik.

Auf einer Kassette kann man in der Ausstellung diesen Vortrag in "Original-Ton Hilbert" mit ostpreussischem Akzent hören.
Den Text erhält man durch Anklicken des Themas.

Sind doch die sinnlich wahrnehmbaren Linien nicht von derselben Art, wie diejenigen, von denen der Geometer redet: nichts sinnlich Wahrnehmbares ist in der Weise gerade oder rund, und der sinnlich wahrnehmbare Kreis berührt das Lineal nicht bloß in einem Punkt...

Aristoteles

Ich komme immer mehr zu der Überzeugung, daß die Notwendigkeit unserer Geometrie nicht bewiesen werden kann, wenigstens nicht vom menschlichen Verstande noch für den menschlichen Verstand.

C. F. Gauß

Durch die "Grundlagen" wurde auch die Diskussion um die Beziehung zwischen Geometrie und Wirklichkeit neu angestoßen. Ein interessanter Ansatz war die Axiomatisierung der
Natürlichen Geometrie durch Johannes Hjelmslev (1873-1950).

Kritik

Massive Kritik an den "Grundlagen" wurde von Gottlob Frege (1848-1925) geübt:
"So geistreich Manches erfunden ist, so halte ich doch das Ganze für verfehlt und jedenfalls nur mit sehr viel Kritik verwendbar. Bei H. scheint mir wie bei vielen Mathematikern ein klares Bewusstsein dafür zu fehlen, was eine Definition leisten kann, und dass das nicht dasselbe sein kann, was ein Lehrsatz leistet, dass also eine Definition nicht für einen Lehrsatz eintreten kann. Es werden Merkmale erster und zweiter Stufe – nach meiner Unterscheidung – neben einander zur Bestimmung desselben Begriffs verwendet, als ob man sagen wollte:
'Der Gottesbegriff wird durch folgende Axiome gegeben:
a) ein Gott ist allmächtig,
b) ein Gott ist allwissend,
c) es giebt einen Gott.'
Das letzte ist zweiter Stufe und also mit den beiden ersten Merkmalen, die erster Stufe sind, nicht in eine Linie zu stellen."

Hilberts Grundlagen der Geometrie wirkten in vielfältiger Weise auf die Entwicklung der Geometrie des 20. Jahrhunderts ein.