Der Inhalt krummlinig begrenzter ebener Flächen kann theoretisch mit Hilfe von Ideen der Analysis bestimmt werden. 

Komplizierte mathematische und technische Ideen führten zu Instrumenten, mit denen für geschlossen Kurven der Flächeninhalt durch Umfahren ihres Randes bestimmt werden kann. Als erster Erfinder gilt Jakob Amsler (1823–1912), der 1854 sein Polarplanimeter vorführte.

Der Inhalt einer Fläche, die durch eine geschlossene Kurve begrenzt ist, wird gemessen, indem man die Randlinie der Figur einmal mit dem Fahrstift im Uhrzeigersinn umfährt. Der Pol bleibt dabei fest. Das Messrad führt teils rollende, teils gleitende Bewegungen aus. Dabei ergibt sich insgesamt ein Ablesewert als Maßzahl für die Drehung, der proportional dem Flächeninhalt ist. Das Ergebnis der Flächenmessung wird im Messwerk abgelesen  Den Proportionalitätsfaktor für den jeweiligen Maßstab liest man aus einer dem Instrument beige­fügten Tabelle ab.