Infinitesimales
Das Differential dx
ist bei
Leibniz
zunächst eine beliebige Streckenlänge. Infinitesimal
(unendlich klein) wird sie, wenn es darum geht, Regeln zu beweisen.
Darüber äußert sich Leibniz in dem
grundlegenden
Aufsatz von 1684 jedoch nicht.
Erst 1710 gibt er einen Hinweis, wie man auf die Produktregel
Nun subtrahiert man auf beiden Seiten uv:
Hier kommt also das Infinitesimale ins Spiel: Weil du unvergleichlich kleiner ist als u und dv unvergleichlich kleiner als v, ist dudv unvergleichlich kleiner als udv und vdu.
Bei einfachen Kurven kann man das Differential auf der Grundlage allgemeiner Regeln für das Rechnen mit Differentialen finden.
Beispiel: Quadratische Parabel
Unter Anwendung der Produktregel ergibt sich:
d(x2) = d(xx) = xdx + xdx = 2xdx.
Erst 1710 gibt er einen Hinweis, wie man auf die Produktregel
d(uv)
= udu + vdv
kommen
kann. Betrachtet man d(uv) als den
Zuwachs der Ordinate von uv, so erhält man: uv
+ d(uv) = (u +
du)(v + dv) =
uv + udv + vdu + dudv.
Nun subtrahiert man auf beiden Seiten uv:
d(uv) = udv + vdu +
dudv.
Daraus
ergibt sich die Produktregel, wenn dudv = 0 gesetzt wird. Hier kommt also das Infinitesimale ins Spiel: Weil du unvergleichlich kleiner ist als u und dv unvergleichlich kleiner als v, ist dudv unvergleichlich kleiner als udv und vdu.
Bei einfachen Kurven kann man das Differential auf der Grundlage allgemeiner Regeln für das Rechnen mit Differentialen finden.
Beispiel: Quadratische Parabel
Unter Anwendung der Produktregel ergibt sich:
d(x2) = d(xx) = xdx + xdx = 2xdx.
