Umkehrung des Höhensatzes |
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Umkehrung des Höhensatzes |
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Die Umkehrung des Höhensatzes lautet:
Wenn für ein Dreieck ABC mit dem Höhenfußpunkt D auf [AB] die Beziehung |CD|2=|AD|·|BD| gilt, dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse.
Beweisidee:
Wir betrachten die beiden Teildreiecke des Dreiecks ABC und stellen fest, dass sie ähnlich zueinander sind. Aufgrund ihrer Winkelverhältnisse erkennen wir dann, dass sich bei C ein Winkel von 90° befindet.
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Aus CD|2 = |AD|·|BD| folgt das Verhältnis: (1) |AD|:|CD| = |CD|:|BD| Außerdem gilt: (2) Winkel CDA = Winkel BDC = 90° Wegen (1) und (2) sind die Teildreiecke ADC und CDB zueinander ähnlich. Also gilt: Winkel alpha = Winkel DAC = Winkel DCB Winkel beta = Winkel CBD = Winkel ACD Wegen der Winkelsumme von 180° in den Teildreiecken folgt daher alpha + beta = 90°, weshalb Dreieck ABC bei C ebenfalls einen 90°- Winkel besitzt. Deshalb ist Dreieck ABC rechtwinklig mit [AB] als Hypotenuse. |
