Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras

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Beweisidee:

Aus einem gegebenen rechtwinkligem Dreieck ABC wird mit Hilfe des Thaleskreises ein Dreieck PQB konstruiert, in welchem [BC] die Rolle einer Höhe spielt. Anschließend wird der Höhensatz angewandt, woraus wir den Satz des Pythagoras erhalten.

bild45.jpg (15018 Byte) P und Q sind diejenigen Punkte auf der Geraden AC, für welche gilt: |PA| = |QA| = |AB| = c.

Wegen des Satzes des Thales ist das Dreieck PQB demnach rechtwinklig mit [PQ] als Hypotenuse. Nach Konstruktion sind [PC] und [QC] die Hypotenusenabschnitte, während [BC] sich als Höhe von Dreieck PQB erweist. Die Anwendung des Höhensatzes auf   das Dreieck PQB ergibt:

|BC|2 = |PC|·|QC|

also:                         a2 = (c-b)·(c+b)

d. h. a2 = c2 - b2, was sofort zu c2 = a2 + b2 umgeformt werden kann.

 

 

Einleitung

Sätze

Satz des Pythagoras Höhensatz Kathetensatz

Beweise

Arithmeti- scher Beweis Zerle- gungs- beweis Ergänzungs- beweis Ähnlich- keits- beweis Sche- rungs- beweis Beweis des Höhensatzes Beweis des Kathetensatzes

Zusammen- hänge

Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz Vom Höhensatz zum Kathetensatz Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras Vom Kathetensatz zum Höhensatz Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen Umkehrung Satz des Pythagoras Umkehrung Höhensatz Umkehrung Kathetensatz

Prinzipien

Spezialisierung Verallgemeinerung Analogie  

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