aehnlichkeitsbeweis fuer den satz des pythagoras

Ähnlichkeitsbeweis für den Satz des Pythagoras

Beim folgenden Beweis gehen wir gemäß der euklidischen Methode vor.

Beweisidee:

Wir verwenden zum einen die Ähnlichkeitsbeziehungen von rechtwinkligen Teildreiecken des rechtwinkligen Dreiecks ABC und zum anderen die Flächeninhalte von Teildreiecken des Dreiecks ABC. Durch Kombination dieser Beziehungen gelangen wir zum Satz des Pythagoras.

Die rechtwinkligen Dreiecke CDE und CDF sind kongruent und zu Dreieck ABC ähnlich. Deshalb gilt:

a`: a = b`: b = c`: c (I)

Da sich Dreieck ABC aus Dreieck ADC und Dreieck BCD zusammensetzt, können wir für die Flächenihalte schreiben:

1/2 c·c`= 1/2 a·a`+ 1/2 b·b` (II)

Kombinieren wir (I) und (II), so ergibt sich für die Quadratflächen über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks:

c^² = a^² + b^²

Eine Übung zum Ähnlichkeitsbeweis finden Sie hier.

	Einleitung
Sätze	Satz des Pythagoras						Höhensatz		Kathetensatz
Beweise	Arithmeti- scher Beweis	Zerle- gungs- beweis	Ergänzungs- beweis		Ähnlich- keits- beweis	Sche- rungs- beweis	Beweis des Höhensatzes		Beweis des Kathetensatzes
Zusammen- hänge	Vom Satz des Pythagoras zum Kathetensatz			Vom Satz des Pythagoras zum Höhensatz			Vom Höhensatz zum Kathetensatz	Vom Höhensatz zum Satz des Pythagoras	Vom Kathetensatz zum Höhensatz	Vom Kathetensatz zum Satz des Pythagoras
Umkehrungen	Umkehrung Satz des Pythagoras						Umkehrung Höhensatz		Umkehrung Kathetensatz
Prinzipien	Spezialisierung		Verallgemeinerung		Analogie

Zurück zum Anfang