Vom Höhensatz zum Kathetensatz |
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Vom Höhensatz zum Kathetensatz |
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Beweisidee:
Zu einem gegebenen rechtwinkligem Dreieck konstruieren wir mit Hilfe des Thaleskreises ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Durch die anschließende Anwendung des Höhensatzes auf beide Dreiecke erhalten wir den Kathetensatz.
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Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ABC mit [AB] als Hypotenuse und D
als Höhenfußpunkt auf [AB]. Wir zeichnen einen Thaleskreis
mit [AC] als Radius und erhalten das rechtwinklige Dreieck EFC mit [EF] als Hypotenuse,
wobei D auch für dieses Dreieck Höhenfußpunkt ist. Wir wenden nun den Höhensatz sowohl
auf Dreieck EFC als auch auf Dreieck ABC an und erhalten: h2 = |ED|·|DF| = (b+q)·(b-q) = b2-q2 sowie h2 = p·q Gleichsetzung ergibt: b2 =c·q |